Em 1977, duas sondas deixaram a Terra para explorar os planetas gigantes do Sistema Solar. Lançadas pela Nasa, as Voyager 1 e 2 carregavam também uma espécie de cápsula do tempo: um disco de ouro com sons, imagens e informações sobre a humanidade.
O disco, parecido com um LP, é um cartão de apresentação da Terra para o caso de extraterrestres cruzarem o caminho das Voyager. Mas como dar um alô para um ser que talvez não se comunique da mesma forma que nós?
A solução foi incluir também informações que, em tese, qualquer civilização tecnologicamente avançada poderia descobrir por conta própria: as leis da natureza. Entre elas estava um velho conhecido das aulas de matemática: o número pi (π).
A constante que pi representa não depende da Terra, da nossa espécie nem da nossa história. Sempre que o comprimento de uma circunferência é dividido pelo seu diâmetro, o resultado é o mesmo, seja numa moeda, numa pizza ou num planeta distante. Qualquer civilização que descubra a geometria inevitavelmente chegará ao mesmo número.
O número pi sempre esteve diante de nós. Mas levamos alguns milhares de anos para entender o que ele era – e chegar cada vez mais perto de seu valor.
Do começo
Ao longo da História, povos de diferentes regiões perceberam que círculos de tamanhos muito diferentes obedeciam à mesma proporção. Ainda que não soubessem explicá-la, essa constatação deu origem às primeiras aproximações de π.
Os registros mais antigos vêm da Mesopotâmia. Tábuas de argila produzidas pelos babilônios, por volta de 1900 a.C., mostram que eles já utilizavam uma aproximação que, na notação atual, equivale a 3,125. O valor era suficiente para resolver problemas de construção e engenharia.
Poucos séculos depois, os egípcios chegaram ainda mais perto. O Papiro de Rhind, copiado por volta de 1650 a.C., descreve um método para calcular a área de um círculo que, traduzido para a matemática moderna, corresponde a aproximadamente 3,1605.
Vale lembrar que, durante a maior parte dos últimos 2 mil anos, o pi não costumava ser pensado como uma sequência de dígitos. O sistema de numeração que usamos hoje, com os algarismos indo-arábicos (0 a 9) e as casas decimais, só passou a se difundir pelo Ocidente a partir do século 12.
Por isso, “a busca era muito mais por frações que representassem π – ou pelo menos que chegassem mais perto dele”, explica Marcelo Viana, matemático e diretor-geral do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (Impa).
A mais ilustre dessas aproximações surgiu com o matemático e filósofo grego Arquimedes. Por volta de 250 a.C., ele criou um método tão preciso que permaneceu como referência por quase 2 mil anos.
Arquimedes desenhou polígonos concêntricos dentro e fora de um círculo. E foi aumentando o número de arestas desses polígonos. Quanto mais lados tinham, mais o perímetro deles se aproximava do comprimento da circunferência [veja abaixo].
Ao chegar a polígonos de 96 lados, Arquimedes pegou o perímetro da figura maior e usou como valor de referência para calcular pi. Como essa figura estava fora do círculo, o perímetro era maior que a circunferência. Portanto, o resultado de pi seria maior que o valor real.
O grego fez o mesmo com o perímetro da figura de dentro do círculo, com a qual chegaria a um valor de pi menor que o real. E tudo bem: Arquimedes estava em busca de um intervalo para pi. O mais preciso possível. Ele concluiu que o número estava entre duas frações: 223/71 < π < 22/7.
No século 3, na China, o matemático Liu Hui levou o método de Arquimedes além: seus cálculos com um polígono de 3.072 lados chegaram a 3,1416 como aproximação de π. No século 5, o chinês Zu Chongzhi usou uma figura com ainda mais lados e apresentou como resultado a fração 355/113, uma aproximação tão boa que só seria superada quase mil anos depois.
Por volta do século 14, surgiu na Índia uma forma completamente diferente de calcular pi. O matemático Madhava de Sangamagrama mostrou que o número também podia ser obtido a partir de uma sequência infinita de contas.
Ela começa com 1, subtrai 1/3, soma 1/5, subtrai 1/7, soma 1/9, e assim por diante. Os denominadores seguem os números ímpares, enquanto os sinais se alternam entre menos e mais.
Sozinha, essa sequência não parece ter relação alguma com um círculo. Mas, à medida que novos termos são acrescentados, o resultado se aproxima cada vez mais de pi dividido por quatro. Basta, então, multiplicá-lo por quatro para chegar a π.
Era uma ideia revolucionária. Pela primeira vez, o número deixava de ser obtido por figuras geométricas e passava a surgir apenas de operações matemáticas. Hoje, esse tipo de expressão é chamado de série infinita e faz parte da base do cálculo moderno.
A grande virada
No século 18, o matemático suíço-alemão Johann Heinrich Lambert queria responder à seguinte pergunta: será que é mesmo possível existir alguma fração capaz de representar π?
Em 1761, Lambert demonstrou que não. Não importa quão grandes sejam os números escolhidos, não existe nenhuma fração capaz de retratar a constante de forma exata. Em termos técnicos, isso significa dizer que π é um número irracional.
Vamos voltar um pouco às aulas de matemática da escola para entender. Todo número racional pode ser escrito como uma fração entre dois números inteiros, como 1/2, 3/4 ou 8/3.
Quando transformados em decimais, esses números sempre acabam em algum momento, como 1/2 = 0,5, ou formam uma dízima periódica – repetições de um mesmo bloco de algarismos, como 1/3 = 0,3333… ou 2/11 = 0,181818…
Com os irracionais, isso nunca acontece. No caso do π, sua representação decimal continua para sempre, sem terminar e sem repetir qualquer padrão. Nenhuma aproximação, por melhor que seja, deixará de ser apenas uma aproximação.
Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que π pertence a uma categoria ainda específica de números: os transcendentes. Vamos explicar.
Alguns números irracionais, como a raiz de 2 (√2), podem ser obtidos como solução de uma equação algébrica – no caso, x² = 2. Com o π, isso nunca acontece. Não existe nenhuma equação desse tipo, por mais complicada que seja, capaz de produzir exatamente seu valor.
Essa descoberta encerrou um dos desafios mais antigos da matemática, a quadratura do círculo. Ela consiste em construir, só com uma régua sem marcações e um compasso, um quadrado com a mesma área de um círculo.
O problema é que esses dois instrumentos só permitem construir figuras cujas medidas podem ser obtidas por equações algébricas. Como π não pode ser obtido dessa forma, essa construção é impossível. Foi o fim de mais de 2 mil anos de
tentativas frustradas.
Até o infinito
A natureza matemática de π parecia finalmente esclarecida. Mas os matemáticos ainda não estavam 100% satisfeitos. Eles queriam saber até onde seria possível calcular os dígitos de pi.
Durante séculos, esse trabalho foi feito à mão e, mesmo com novas tecnologias (como calculadoras mecânicas), avançava lentamente. Até que chegou a era da computação.
Até 1949, o recorde era de 1.120 casas decimais, obtidas após meses de cálculos. Naquele mesmo ano, o ENIAC, um dos primeiros computadores eletrônicos de uso geral do mundo, calculou 2.037 dígitos em menos de três dias.
Pouco mais de uma década depois, esse número já havia saltado para mais de 100 mil. Nos anos 1970, a marca de 1 milhão de casas decimais foi ultrapassada.
Em novembro de 2025, pesquisadores das empresas StorageReview e Micron Technology estabeleceram o recorde atual ao calcular 314 trilhões de casas decimais de π (valor que talvez já tenha sido superado enquanto você lê esta reportagem).
Para isso, usaram um único computador de alto desempenho, que trabalhou sem parar por 110 dias. Durante todo esse período, processador, memória e dispositivos de armazenamento precisaram funcionar continuamente sem cometer um único erro. Qualquer falha, por menor que fosse, seria suficiente para comprometer o resultado e obrigar o cálculo a recomeçar do zero.
É justamente por isso que, hoje, calcular novas casas decimais de π funciona como um teste de resistência para computadores e programas. Um dos exemplos mais famosos aconteceu em 1994. Um defeito no processador Pentium, da Intel, foi descoberto porque o chip produzia resultados incorretos em alguns cálculos envolvendo pi. O problema obrigou a empresa a substituir milhões de processadores.
Curiosamente, quanto mais os computadores avançavam, menos importância matemática esses novos dígitos passavam a ter. Os matemáticos já conhecem trilhões de dígitos de π, e acrescentar mais alguns bilhões dificilmente revelará algo novo sobre o próprio número.
Na prática, poucas dezenas de casas decimais já bastam para qualquer aplicação imaginável. Com cerca de 39 casas decimais, por exemplo, seria possível calcular a circunferência do Universo observável com um erro menor que o diâmetro de um átomo.
As aventuras do pi
Se descobrir novos dígitos já não é o objetivo, então o que os matemáticos ainda querem saber sobre π? A resposta está no que já conhecemos sobre ele.
Por exemplo: se uma das principais suspeitas dos matemáticos estiver correta, em algum lugar de suas infinitas casas decimais aparece qualquer sequência finita de números que se possa imaginar. Isso significa que o número do seu CPF, o do seu telefone e o do CEP da Torre Eiffel podem estar ordenados entre os infinitos dígitos de π.
A ideia parece absurda, mas pode ser verdade caso fique provado que pi é o que os matemáticos chamam de número normal. Nesse caso, os seus algarismos se distribuiriam de forma equilibrada – cada dígito, de 0 a 9, apareceria aproximadamente 10% das vezes. Não só: todas as combinações possíveis de dois dígitos (23, 37, 45…), depois de três (100, 200, 300…), de quatro e assim por diante também surgiriam com a frequência esperada.
Se π realmente for um número normal, qualquer sequência finita de algarismos, por mais improvável que pareça, acabará aparecendo em algum ponto de sua expansão decimal. A maioria dos matemáticos acredita que isso seja verdade. O problema é que ninguém conseguiu provar – e talvez nunca consiga.
No início do século 20, muitos matemáticos acreditavam que toda afirmação verdadeira poderia, cedo ou tarde, ser demonstrada. Essa confiança foi abalada em 1931, quando o filósofo e matemático americano-austríaco Kurt Gödel mostrou que existem proposições matemáticas que são verdadeiras, mas que não podem ser provadas dentro de um determinado sistema lógico. “É possível que a normalidade de π seja uma delas”, diz Viana.
Os mistérios que cercam o pi não param por aí. Quanto mais os matemáticos aprendem sobre esse número, mais ele começa a aparecer em lugares onde, aparentemente, não teria motivo algum para existir.
O π ajuda a descrever o comportamento das ondas sonoras e da luz, o movimento de planetas e satélites, a propagação de sinais de celular e Wi-Fi, a estrutura dos átomos e até fenômenos ligados ao acaso, como a distribuição de alturas ou notas em uma população.
Por quê? Essa é uma pergunta que nem os próprios matemáticos conseguem responder completamente.
“É difícil entender essa onipresença do π. Para mim, é uma das características mais fascinantes dele”, diz Viana. “Em alguns casos eu consigo entender por que ele aparece. Em outros, francamente, eu não sei.”
Um dos exemplos citados pelo matemático é o chamado Problema da Basileia. Considere a seguinte soma: 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² +… . Ela envolve apenas números inteiros. Nenhum círculo. Nenhuma figura geométrica. Mesmo assim, em 1735, o matemático suíço Leonhard Euler demonstrou que o resultado dessa soma infinita é exatamente π²/6.
“O que o π está fazendo aí?”, pergunta Viana. “Você está somando apenas os inversos dos quadrados dos números inteiros. O que isso tem a ver com o perímetro de uma circunferência?”
A resposta continua em aberto. Para Andrés Navas, matemático e um dos autores do livro Pi: Uma autobiografia infinita, essa é justamente uma das características mais bonitas da matemática.
“π é uma constante universal”, diz Navas. “A matemática é a ciência do invisível, a ciência das ideias. Essas ideias estabelecem conexões que muitas vezes são inesperadas. É por isso que π aparece sempre. Daqui a cem ou duzentos anos vamos descobrir novas leis da natureza, e o π estará lá de novo.”
Enquanto os matemáticos se debruçam sobre o pi aqui na Terra, as Voyager continuam sua longa viagem pelo espaço interestelar, levando consigo um número que talvez seja tão familiar para uma civilização distante quanto é para nós, humanos.
Se isso acontecer, os extraterrestres provavelmente reconhecerão π sem muita dificuldade. A dúvida é se eles também ainda estarão tentando entender todos os seus mistérios – ou se já terão encontrado respostas que escapam à humanidade há milhares de anos.
Fonte: abril
